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斯图尔特 微积分 ​

章节目录

微积分预览 ​

[1]   割线的斜率

[2]   切线的斜率

[3]   级数之和

1 函数和极限 ​

1.1 函数的四种表示方法 ​

[1]   有四种可能的方法来表示函数：

  • 口头（通过文字描述）
  • 数字化（通过数值表）
  • 可视化（通过图表）
  • 代数（通过明确的公式）

[2]   垂直线测试
当且仅当没有垂直线与曲线相交多次时，xy 平面中的曲线是 x 函数的图形。

[3]   分段定义的函数
函数在其域的不同部分由不同的公式定义。

[4]   对称

  • 偶函数  
  • 奇函数  

[5]   增减函数

  • 増函数   函数 f 称为在区间 I 上递增，如果
      whenever in I
  • 减函数   函数 f 称为在区间 I 上递减，如果
      whenever in I

1.2 数学模型 ​

  • 线性模型
    当我们说 y 是 x 的线性函数时，我们的意思是该函数的图像是一条直线，因此我们可以使用直线方程的斜率截距形式将该函数的公式写为

    其中 m 是直线的斜率，b 是 y 轴截距。

  • 多项式
    函数 P 称为多项式，如果

    其中 n 是非负整数，数字 是称为多项式系数的常数。 任何多项式的定义域都是 。 如果首项系数 ，则多项式的次数为 n。

  • 幂函数 形式的函数（其中 a 是常数）称为幂函数。 我们考虑几种情况
    (i) ，其中 n 是正整数
    (ii) ，其中 n 是正整数
    (iii)
    倒数函数的方程为 或 ，是一条以坐标轴为渐近线的双曲线。

  • 代数函数
    如果函数 f 可以使用从多项式开始的代数运算（例如加法、减法、乘法、除法和求根）来构造，则该函数称为代数函数。 任何有理函数都自动成为代数函数。

  • 三角函数
    在微积分中，惯例是始终使用弧度度量（除非另有说明）。

  • 指数函数
    指数函数是 形式的函数，其中底数 b 是正常数。

  • 对数函数
    对数函数 （其中 b 为正常数）是指数函数的反函数。

1.3 来自旧函数的新函数 ​

1.3.1 函数变换 ​

  • 垂直和水平移动
    假设 ，基于 的图形
    ，   向上移动 c 个单位
    ，   向下移动 c 个单位
    ，   向右移动 c 个单位
    ，   向左移动 c 个单位

  • 垂直和水平拉伸和反射
    假设 ，基于 的图形
    ，  垂直拉伸 c 倍
    ，  垂直缩小 c 倍
    ，  水平缩小 c 倍
    ，  水平拉伸 c 倍
    ，  反射 关于 x 轴的图形
    ，  反射 关于 y 轴的图形

1.3.2 组合函数 ​

两个函数 f 和 g 可以组合起来形成新函数 f + g, f - g, fg 和 f/g，其方式类似于我们对实数进行加、减、乘、除的方式。

  • 和函数:  
  • 差函数:  
  • 积函数:  
  • 商函数:  

f + g, f - g, fg 的定义域是 , f/g 的定义域是

  • 定义 复合函数
    给定两个函数 f 和 g，复合函数 （也称为 f 和 g 的复合）定义为
     
    的定义域是 g 定义域中所有 x 的集合，使得 位于 f 定义域中。

1.4 切线和速度问题 ​

  • 正切
    曲线的切线是与曲线相切的线。 换句话说，切线应与接触点处的曲线具有相同的方向。

  • 瞬时速度
    越来越短的时间段内平均速度的极限值。

1.5 函数的极限 ​

[1]   极限的直观定义
假设当 x 接近数字 a 时 f(x) 定义。 （这意味着 f 是在某个包含 a 的开区间上定义的，除了可能在 a 本身。）然后我们写

并说   “当 x 接近 a 时，f(x) 的极限等于 L”。
如果我们可以通过限制 x 足够接近 a（在 a 的任一侧）但不等于 a 来使 f(x) 的值任意接近 L（尽可能接近 L）。

[2]   单边极限的定义
我们写

并说 “当 x 接近 a 时 f(x) 的左极限 [或当 x 从左侧接近 a 时 f(x) 的极限]” 等于 L，如果我们可以通过使 x 充分接近 a 并且 x 小于 a 来使 f(x) 的值任意接近 L。

类似地，如果我们要求 x 大于 a，我们会得到 “当 x 接近 a 时 f(x) 的右侧极限等于 L”，我们可以这样写

[3]   极限定义
  当且仅当 并且

[4]   无限极限的直观定义
设 f 是在 a 两侧定义的函数，但可能在 a 本身除外。 那么

意味着 f(x) 的值可以通过使 x 足够接近 a 但不等于 a 来任意大（我们希望多大）。

[5]   定义 负的无穷大极限
设 f 是在 a 两侧定义的函数，但可能在 a 本身除外。 那么

意味着通过使 x 足够接近 a 但不等于 a，f(x) 的值可以变为任意大的负值。

[6]   定义 垂直渐近线
如果以下陈述至少之一为真，则垂直线 称为曲线 的垂直渐近线：
       
     

1.6 使用极限定律计算极限 ​

  • 极限定律
    假设 c 是常数并且极限
        和  
    存在。 那么
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.     如果
  6.     其中 n 是正整数
  7.  
  8.  
  9.     其中 n 是正整数
  10.     其中 n 是正整数；n 是偶数假定
  11.  
      其中 n 是正整数；n 是偶数假定
  • 直接替换性质
    如果 f 是多项式或有理函数且 a 在 f 的定义域内，则具有直接替换性质的函数称为在 a 处连续的函数。

[1]   定理 双边极限
  当且仅当

[2]   定理 极限比较
如果当 x 接近 a（除了可能在 a 处）时 并且当 x 接近 a 时 f 和 g 的极限都存在，则

[3]   挤压定理
如果 ，当 x 接近 a（除了可能在 a 处）并且

则

挤压定理有时也称为三明治定理。

1.7 极限的精确定义 ​

  • 极限的精确定义
    设 f 是在某个包含数字 a 的开区间上定义的函数，但可能在 a 本身除外。 然后我们说当 x 接近 a 时 f(x) 的极限是 L，并且我们写

    如果对于每个数字 有一个数字 使得
      如果     那么 

  • 左极限的定义

    如果对于每个数字 有一个数字 使得
      如果     那么 

  • 右极限的定义

    如果对于每个数字 有一个数字 使得
      如果     那么 

  • 无限极限的精确定义
    设 f 是在某个包含数字 a 的开区间上定义的函数，但可能在 a 本身除外。 那么

    意味着对于每个正数 M 都有一个正数 使得
      如果     那么 

  • 负的无穷大极限
    设 f 是在某个包含数字 a 的开区间上定义的函数，但可能在 a 本身除外。 那么

    意味着对于每个负数 N 都有一个正数 使得
      如果     那么 

1.8 连续性 ​

  • 定义 连续
    函数 f 在数字 a 处连续如果

请注意，如果 f 在 a 处连续，则定义隐含地需要三件事：

  1. 定义 f(a)（即 a 在 f 的定义域内）
  2. 存在

  • 定义 单边连续
    函数 f 在数字 a 处从右侧连续如果

    且 f 在 a 处从左侧连续 如果

  • 定义 区间连续
    如果函数 f 在区间内的每个数字上连续，则函数 f 在区间上连续。 （如果 f 仅定义在区间端点的一侧，我们将端点处的连续理解为从右侧连续或从左侧连续。）

  • 定理 组合函数连续
    如果 f 和 g 在 a 处连续，并且 c 是常数，则以下函数也在 a 处连续：

  • 定理 多项式和有理函数连续
    (a) 任何多项式都是处处连续的； 也就是说，它在 上连续。
    (b) 任何有理函数无论在何处定义都是连续的； 也就是说，它在其域上是连续的

  • 定理 函数的连续性
    以下类型的函数在其域中的每个数字上都是连续的：
    多项式   有理函数   根函数  三角函数

  • 定理 复合函数的极限
    如果 f 在 b 处连续且 , 则 ，也就是说

  • 定理 复合函数的连续性
    如果 g 在 a 处连续且 f 在 g(a) 处连续，则由 给出的复合函数 在 a 处连续。

  • 定理 中值定理
    假设 f 在闭区间 [a, b] 上连续，并令 N 为 f(a) 和 f(b) 之间的任意数，其中 。 那么(a, b) 中存在一个数 c，使得 。

中值定理的一种用途是定位方程的根。

2 导数 ​

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